Cours 6. Cours 9. Bsr je voudrais participer aux activités du sites. 1 : Étudier le sens de variation d'une suite.... 20 septembre 2010 ∙ 3 minutes de lecture Cours 1.1. Cours 1.3. Composée de deux fonctionsA. Book Anatomy An Essential Textbook by Anne M... Book The Adventures of Huckleberry Finn by Mark... Book The Automatic Millionaire by David Bach pdf. Soit 𝑓 la fonction définie sur IR par\(\left\{\begin{array}{l}𝑓(x)=\frac{x^{2}-5 x+4}{x-1} \text { si } x≠1 \\ f(1)=-3\end{array}\right.\)Montrons que 𝑓 est continue en 1. Rappel Définition Soit une fonction définie sur un intervalle I de IR, a∈I et l un réel donné. ExerciceSoit F la fonction définie sur ]0;2[ par: F(x)=tan(\(\\frac{(x-1)π}{2}\))Montrer que est continue sur ]0;2[, SolutionPosons \(f(x)=\frac{(x-1) \pi}{2}\) et g(x)=tan xOn a: pour tout x∈I=]0;2[F(x)=tan (f(x))=g(f(x))=(gof)(x) ⇒ F=g o f* f est continue ]0; 2[ (restriction d’une fonction polynôme)* g est continue sur J=]\(-\frac{\pi}{2}\);\(\frac{\pi}{2}\)[x∈I=]0;2[⇔00) et g une fonction définie sur un intervalle ouvert J de centre ð‘™ tel que f I)⊂JSi \(\lim _{x➝a} f(x)=𝑙\) et g continue en ð‘™ alors lim gof(x)=g(𝑙)DémonstrationSoit f une fonction définie sur un intervalle I tel que \(\lim _{x➝a} f(x)=𝑙\) et a∉Idoncf admet un prolongement par continuité \(f_{1}\) en aet on a   \(f_{1}(a)=𝑙\)Comme g est continue en ð‘™ alors la fonction \(gof_{1}\) est continue en a \(\lim _{x➝a} gof_{1}(x)=gof_{1}(a)\) c -à -d \(\lim _{x➝a} gof (x)=g(𝑙)\), Remarquela propriété précédente reste valable à gauche et a droite en a et en +∞ et -∞ avec remplacement de l’intervalle I par un intervalle convenable.ExempleOn considère la fonction f définie par\(f(x)=cos(\frac{x}{\sqrt{x+1}-1})\)On calcule \(\lim _{x➝0} f(x)\)On a la fonction \(\lim _{x➝0} \frac{x}{\sqrt{x+1}-1}\)=\(\lim _{x➝0} \sqrt{x+1}+1=2\)et on a la fonction x➝cos x est continue en 2alors \(\lim _{x➝0} f(x)=cos (2)\)Application1. Résumé Du Cours 2. Continuité de la composée de deux fonctionsPropriétéSoit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I contenant un réel a et g une fonction définie sur un intervalle ouvert J contenant f(a).Si f est continue en a et g continue en e(a) alors la fonction gof est continue en a.DémonstrationSoit 𝜀>0, montrons qu’il existe 𝛼>0 tel que pour tout 𝑥∈I|𝑥-𝑎|<𝛼 ⇒ |gof(𝑥)-gof(𝑎)|<𝜀– g est continue en f(a) donc il existe β>0 tel que pour tout y∈J|y-f(𝑎)|<𝛼 ⇒ |g(y)-g(f(𝑎))|<𝜀 ①– f est continue en a donc il existe 𝛼>0 tel que pour tout x∈I|𝑥-𝑎|<𝛼 ⇒ |f(x)-(f(𝑎))|<𝜀 ②soit x∈I tel que |𝑥-𝑎|<𝛼 alors d’après ② |f(x)-(f(𝑎))|<β et d’après ①  |g(y)-g(f(𝑎))|<𝜀 (en prenant y = f (x) )ou encore |g(f(x ))-g(f(a))|<𝜀  . Propriétéf est continue en a ⇔ f est continue à gauche et à droite en a. ExemplesSoit f la fonction définie par :\(\left\{\begin{array}{l}f(x)=3-x^{2} ; x≤0 \\f(x)=\frac{x^{2}-3}{2 x-1} ; x>0\end{array}\right.\)Etudier la continuité de f à droite et à gauche de 0On a \(\lim _{x➝ 0^{+}} f(x)=\lim _{x➝ 0^{+}} \frac{x^{2}-3}{2 x-1}\)=3=f(0).donc f est continue à droite de 0\(\lim _{x➝ 0^{-}} f(x)=\lim _{x➝ 0^{+}} 3-x^{2}\)=3=f(0).donc f est continue à gauche de 0. Soit g la fonction définie par: \(\left\{\begin{array}{l}g(x)=\frac{x+\tan 2 x}{\sin 3 x} ; x≠0 \\ g(0)=1\end{array}\right.\)La fonction g est-elle continue en 0 ? La terminale est la dernière ligne droite avant le bac, il est ainsi primordial de préparer cet examen dès les premier jours de cours. Serie 8 Fr. ExemplesSoit f  la fonction définie par:f(x)=cos(2x²-3x+4 on montre que la fonction f est continue sur IR.Comme les fonctions:\(f_{1}\): x➝2x²-3x+4 et \(f_{2}\): x➝cos x sont continue sur IR.et \(\f_{1}(IR)⊂IR\) alors la fonction \(f=f_{2}of_{1}\) est continue sur IR.2. Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. 2. Les opérations sur les fonctions continues, A. Continuité de la composée de deux fonctions, B. Composée d’une fonction continue et d’une fonction admet une limite, C. Image d’un intervalle et d’un segment par une fonction continue, * Image d’un intervalle et d’un segment par une fonction continue, * Image d’un intervalle par une fonction continue et strictement monotone, * Si f est une fonction Strictement croissante sur I, * Si f est une fonction Strictement décroissante sur I, D. Théorème des Valeurs intermédiaires. 5. vous êtes au collège ou au lycée, tronc commun, Seconde, Deuxième année bac ou au terminal, Sciences maths, Sciences physiques, Economique ou STMG ? Home / Lycée / 2ème Année Bac / 2Bac – Sciences Exp / Limites et Continuité; Cours Pour acquérir les bases. Cours 7. Secondaire — 4ème année Sciences de l’informatique — Mathématiques — Limites de fonctions et continuité, pdfAide aux devoirs, devoirs corrigés, École Collège Lycée BAC, Tunisie .tn devoirat Corrigés ( avec correction ) Séries Exercices Cours Devoir.TN Matheleve EduNet D’affiliation et très bon déroulement des cours particuliers, vous constituer un rapport entre deux ans. Plan de la fiche : I - Notations et formes indéterminées (FI) Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 1 LIMITES ET CONTINUITÉ (Partie 1) I. Limite d'une fonction à l'infini 1) Limite finie à l'infini Intuitivement : On dit que la fonction f admet pour limite L en +∞ si f (x) est aussi proche de L que Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f (c)=k .DémonstrationComme f est continue sur [a ; b] alors il existe deux nombres réel M et m tel que f([a ; b])=[m;M] comme f(a) et f(b) appartiennent à [m;M]  supposons que f(a)≤f(b)donc [f(a);f(b)]⊂[m;M]c -à-d [f(a);f(b)]⊂f([a ; b]) Donc pour tout k compris entre f(a) et f(b) c-à-d. k∈f([a;b])Il existe au moins un réel c de [a;b] tel que: f(c)=k.ConséquenceDans ces conditions, l’équation f(x)=k admet au moins une solution dans l’intervalle [a;b]Cas particuliers– Dans le cas où la fonction f est strictement monotone sur l’intervalle [a;b] alors le réel c est unique.– si f(a)×f(b)<0 alors 1 ‘équation f(x)=0 admet au moins une solution dans ]a,b[.Si de plus f est strictement monotone sur I, alors c’est unique.Exemple On considère la fonction numérique  f  définie par: \(f(x)=x^{3}-10 x+14\)On a f est continue sur IR car c’est une fonction polynôme donc est continue sur [1;3]On a f(1)=5 et f(3)=11. Cours Limites et continuité 2 Bac. Résumé Du Cours 1. Limites et continuité - Fiche de révision de Mathématiques Terminale Générale sur Annabac.com, site de référence. Cours 10. \(f(x)=\frac{1-cos x}{x} ; a=0\), 4. Cours 4. 4. Pour maximiser leurs résultats et leurs chances de réussite, les élèves peuvent suivre pendant les vacances, un stage de préparation au bac.